Hallo Spatzi!
Du scheinst ziemlich ungünstige Bedingungen für den Rasen zu haben. Moose treten u.a. bei Nährstoffmangel, auf zu sauren Böden, auf schweren Böden oder wenn Bodenverdichtungen vorliegen. Die beiden letzten Punkte treffen bei dir zu. Ich würde mal aerifizieren und vertikutieren.
Wenn das nichts bringt, dann würde ich eine ziemlich radikale Kur vorschlagen. Tonnenweise Sand liefern lassen, verteilen und einfräsen. Darauf vielleicht noch eine dünne Schicht guten Humus, walzen, Startdünger und Rasensaat ausbringen. Ist zwar eine Menge Arbeit, langfristig lohnt es sich jedoch.