Erstmal:
Hallo Göttingeeen!!!! 
Meine Unistadt! *freu* Mensch, grüß sie mir mal! Hab richtig Heimweh...
Und zu deinen Tomaten - ob Tomaten es schaffen, im Zimmer Früchte zu bilden (willst du Hummelchen spielen? *g*), weiß ich nicht. Bin eher skeptisch, muss ich sagen. Es gibt aber eine spezielle Zimmertomate, soviel weiß ich. Zu bestellen über bekannte Versandhandel.
Was für eine Sorte hast du denn gesäät?
Auf jeden Fall musst du auf ausreichend Licht achten. Die Pflanzen sehen etwas "lang" aus - hast du sie schon einmal pikiert? Falls nicht, würd ich empfehlen und dann aber tiefer wieder einpflanzen, da die Stielchen recht lang und dünn sind.
Das passiert immer bei Lichtmangel, daher ist deine Idee mit der Pflanzenleuchte schon gut.
Und nochwas: Tomaten sind Starkzehrer, d.h. sie verbrauchen viele Nährstoffe. Daher immer ausreichend düngen. Ich würde dir spezielle Tomatenflüssigdünger empfehlen, die sind einfacher zu dosieren.
Viel Glück mit deinen Tomaten in der ...Weender Str. (?)
Alles Liebe von der Cil, die Göttingen diesen Sommer wohl mal wieder besuchen wird...