Hallo D R P,
der Abstand zum Boden ist so zu wählen, dass der Nachbarshund nicht durchpasst.
Mal Spaß beiseite, Abstand würde ich sagen Null, weil ein Zaun am besten auf der Grenze steht. Sonst verschenkst Du ja wertvolle Gartenfläche, was als Gartenfreund mal garnicht geht.
Die Höhe ist (ich kann nur für Bayern sprechen) bei uns in der BayBo (bayerische Bauordnung, heißt anderswo auch Landesbauordnung) geregelt. Aber ich würde mich mal bei der Gemeinde erkundigen da ein Bebauungsplan evtl. anderes Vorschreibt.
Die Bauordungen findest Du hier
Bauordnungen Deutschlands, Österreichs und der Schweiz