Also wenn Gärtner da waren und Du den Wunsch eines solchen Rasens geäussert hast, finde ich das schon seltsam, dass nur vertikutiert und dann nachgesäht wurde.
Nach den bisherigen Angaben und den Fotos, kann das meiner Meinung nach nichts werden. Wenn ich alleine die Steine sehen, die in Deinem Boden sind, würde ich das als unzureichende Arbeitsleistung sehen und Nachbesserung von den Gärtnern verlangen. Schliesslich haben sie Deine Problematik anscheinend verkannt und nicht das gewünschte Ergebnis geliefert. Ruf' doch einfach mal an und erkläre nett die Situation. Ich bin mir sicher, ihr werdet eine Lösung finden.
Wie sieht es denn insgesamt auf dem Grundstück aus? Eher Sonnen- oder eher Schattenlage. Danach sollte sich dann auch der Rasensamen richten.
Alle folgenden Dinge sind reine Spekulation und allgemeine Tipps:
Bei kahlen Stellen kann auch oft eine zu dichte Ausbringung des Saatgutes dafür verantwortlich sein, dass nichts gewachsen ist.
Wenn der Boden zu hart ist, dann vermute ich mal viele Lehmanteile. Dort kan nichts wachsen, wenn man nicht vorher den Boden abgemagert hat. Das bringt zwar immer noch keinen adequaten Ersatz und ändert den Boden nicht grundlegend, hilft aber dabei die Bodeneigenschaften zu verbessern. Dazu wäre es aber notwendig gewesen, eine 5-10cm hohe Sandschicht zuerst aufzutragen und dann unterzumischen. Gewaschener Quarzsand ohne Feinschluffanteile sollte dafür dann verwendet werden. Sandböden haben aber natürlich dann wenig Nährstoffe, sodass Du öfter und gründlich Düngen musst. Wie oft hängt dann von der Zusammensetzung des Bodens ab. Vielleicht begibst Du Dich mal in den Baumarkt und besorgst Dir ein Testset. Soll um die 10 Eur kosten.
Eine andere Möglichkeit den Boden "lebenswerter" zu machen ist eine sogenannte Gründüngung. Dabei kann man im Frühjahr eine Bodenkultur mit z.B. Phacelia angelegen. Diese wird ausgebracht und dann der Aufwuchs im Juli/August untergeharkt. Anschliessend kannst Du nach 1 oder 2 Wochen ein feinkrümeliges Saatbeet erstellen und dann den Rasensamen ausbringen.
Man kann diese Bodenkultur aber auch später im Jahr sähen und dann erfrosten lassen. Die Pflanzen lockern den Boden durch das Wurzelgeflecht und beugen so der Verdichtung und der Errosion vor. Zudem wird durch die untergeharkte Bodenkultur und der Zersetzung der Boden nährstoffreicher. Das ist aber eine Menge Arbeit und kann bei einer großen Fläche schnell mal einige Tage in Anspruch nehmen!!!! Man kann auch nicht sicher sein, dass diese Pflanzen nicht wieder kommen und Dir so später im Rasen das Leben schwer machen, wenn sie nicht wirklich einjährig sind.
Der "Rasendoktor" kann vielleicht hier mehr Tipps gegen als ich es als angelesener Hobbygärtner tun kann, ob das Sinn macht oder nicht.
Zum Rasensamen an sich: Lass' die Finger von solch billigen Mischungen. Investiere einmal in eine RSM-Mischung, wie man sie bei namhaften Firmen kaufen kann und gut ist. Da kannst Du davon ausgehen, dass die Zusammensetzung stimmt und geprüft wurde und erlebst keine bösen Überraschungen.